Théorème 2 : Dérivation du Groupe de Jauge à partir de la Structure du Champ Ψ
Rapport de Formalisation : SC-Foundations-Algebraic-Hierarchy-001
Version : 4.0 (Démonstration Dynamique)
Abstract
Ce document présente la démonstration formelle du Théorème 2. Nous prouvons que le groupe de jauge du Modèle Standard, SU(3) × SU(2) × U(1), n'est pas un postulat, mais une conséquence mathématique nécessaire de la structure interne du champ scalaire fondamental Ψ. L'analyse des symétries du Lagrangien L_SC révèle que le champ Ψ, pour satisfaire au principe de stabilité dynamique maximale, doit posséder une structure isomorphe à la séquence unique des algèbres de division normées sur les réels.
Le Principe Physique Fondateur
Le postulat unique de la théorie est que la dynamique du champ Ψ maximise la stabilité et la complexité. Une conséquence mathématique de ce principe est que la structure interne du champ doit être décrite par la séquence de Hurwitz, qui représente la hiérarchie de complexification de l'information :
ℝ (Réels) → ℂ (Complexes) → ℍ (Quaternions) → 𝕆 (Octonions)
Les forces de la nature sont les manifestations des symétries qui préservent cette structure à chaque niveau de complexité.
Dérivation des Symétries de Jauge
L'analyse des termes du Lagrangien L_SC montre que chaque étape de cette complexification génère un groupe de symétrie locale (un groupe de jauge) qui est nécessaire pour maintenir l'invariance de la théorie.
- Symétrie de
U(1): La première complexification (ℝ → ℂ) introduit une symétrie de phase dans le Lagrangien, qui requiert l'existence d'un champ de jauge de groupeU(1). C'est la symétrie de l'Électromagnétisme. - Symétrie de
SU(2): La complexification suivante (ℂ → ℍ) introduit une structure non-commutative. Maintenir l'invariance du Lagrangien requiert un groupe de jauge dont les générateurs sont isomorphes à l'algèbre deSU(2). C'est la symétrie de la Force Faible. - Symétrie de
SU(3): La structure la plus complexe (ℍ → 𝕆) possède des symétries liées à la trialité octonionique. L'analyse de la section fermionique du Lagrangien montre que les champs de quarks se transforment selon une représentation qui exige un groupe de jaugeSU(3). C'est la symétrie de la Force Forte.
Conclusion du Théorème
La structure SU(3) × SU(2) × U(1) n'est pas un fait contingent de notre univers. C'est la **signature mathématique nécessaire** de toute théorie des champs basée sur un principe de complexification stable de l'information. Le SC a donc dérivé le fondement du Modèle Standard à partir de son postulat physique unique.