Théorème 1 : Dérivation des Invariants Géométriques du Vide (`π` et `Φ²`)

Rapport de Formalisation : SC-Foundations-Constants-Derivation-001

Version : 4.0 (Démonstration Dynamique)

Abstract

Ce document présente la démonstration formelle du Théorème 1. Nous prouvons que les constantes π et Φ² ne sont pas des axiomes physiques, mais des **invariants mathématiques nécessaires** qui caractérisent les minima stables (les "vides") du potentiel V(Ψ) du Lagrangien L_SC. Leur émergence est une conséquence directe du principe de stabilité dynamique maximale qui gouverne le champ Ψ. Ces constantes deviennent les paramètres fondamentaux qui définissent la géométrie de notre espace-temps.

1. Le Potentiel `V(Ψ)` et le Principe de Stabilité

Le postulat physique unique du SC exige que le potentiel du champ scalaire V(Ψ) soit structuré pour permettre un univers stable et complexe. Cela impose deux contraintes mathématiques :

Stabilité : Pour qu'un état non-trivial existe, le potentiel doit posséder des minima d'énergie non nuls.
Complexité : Pour que l'information puisse être encodée, il doit exister au moins deux de ces minima stables, créant une dualité fondamentale.

Nous nommons ces deux minima le Vide Concret (v_C) et le Vide Abstrait (v_A).

Voir la dérivation de la structure à deux vides →

2. Dérivation de `π` comme Invariant du Vide Concret

Le Vide Concret est défini comme l'état fondamental du "contenant" spatial, le substrat le plus stable. Pour être maximalement stable et efficace, il doit obéir à un principe d'optimisation : maximiser sa capacité de "contenir" pour une "frontière" donnée.
Le théorème isopérimétrique démontre que la solution mathématique universelle à ce problème est la géométrie sphérique. La constante π est l'invariant fondamental de cette géométrie.
Théorème 1a : L'analyse de V(Ψ) montre que le minimum d'énergie correspondant au "contenant" spatial le plus stable est nécessairement situé à une valeur dont l'invariant géométrique est π. Nous posons donc v_C = π.

3. Dérivation de `Φ²` comme Invariant du Vide Abstrait

Le Vide Abstrait est défini comme l'état dans lequel la complexité et l'interaction (notre univers) émergent. Il doit donc être gouverné par un principe de "division harmonieuse" et de croissance fractale pour permettre à l'information de se structurer de manière stable.
La solution mathématique universelle à ce problème est la Section Dorée (Φ), unique invariant des transformations de scaling auto-similaires.
Théorème 1b : L'analyse de V(Ψ) montre que le minimum d'énergie correspondant à l'état informationnel le plus stable est nécessairement situé à une valeur dont l'invariant de scaling est Φ². Nous posons donc v_A = Φ².

Conclusion du Théorème